Chow Test

어떤 충격, 예를 들면 대외적인 환경의 변화(오일 쇼크, 전쟁 등)나 대내적인 정책의 변화 등으로 인하여 회귀모형에 구조적인 변화, 즉 회귀모형의 모수(절편 and/or 기울기) 값이 변화하는 지를 검정하는 방법. 또는 이것을 회귀모수의 안정성을 검사하는 방법이라 한다.

어떤 충격의 발생이나 정책의 변화로 인하여 연구의 대상 기간을 변화 이전과 이후 등과 같이 두 개의 기간으로 구분할 수 있으며, 각 기간에 대해 설정한 회귀모형에 차이가 존재하는 지의 여부를 알게 해 준다. 단 분할된 두 기간의 오차항은 동분산 가정을 따라야 한다.

예를 들어, 1970~1995년 기간 중 A국가의 저축함수를 추정한다고 하자. 단 1980년 초에 불황발생으로 인해 실업률이 최고수준을 기록하였다고 하자. 기간 중 가처분소득과 저축 간의 관계에 변함이 없다는 가정 하에서 전체 기간에 걸친 저축함수와 불황 이전 (1970~1981)과 불황 이후 (1982~1995) 두 기간에 대한 저축함수를 추정한다고 하자.

이전: [eqn: Y _{t} = lambda _{1} + lambda _{2} X _{t} + epsilon _{1t}]	,  [eqn: n sub 1 = 12]	불황 이전의 저축함수 모형          ①

이후: [eqn: Y _{t} = gamma _{1} + gamma _{2} X _{t} + epsilon _{2t}],   [eqn: n sub 2 = 14]	불황 이후의 저축함수 모형          ②

전체: [eqn: Y sub t = alpha sub 1 + alpha sub 2 X sub t + epsilon sub t],   [eqn: n = n sub 1 + n sub 2 = 26]	기간 중 차이를 고려하지 않은 모형  ③

만약 구조적 변화가 없었다는 것이 사실이라면, [eqn: alpha sub 1 = lambda sub 1 = gamma sub 1], [eqn: alpha _{2} = lambda _{2} = gamma _{2}] 가 된다.

표본자료를 이용한 추정 결과가 다음과 같다고 하자 (단, ( )속은 t-값임):

① [eqn: hat{Y _{t}} =1.016+0.0803X _{t}]	[eqn: R ^{2} =0.9021,````````SSE _{1} =1,785.03,````````df=10]

(0.087)  (9.601)

② [eqn: hat{Y _{t}} =153.5+0.0148X _{t}]	[eqn: R ^{2} =0.2971,````````SSE _{2} =10,005.22,````````df=12]

(4.692)  (1.771)

③ [eqn: hat{Y _{t}} =64.42+0.0376X _{t}]	[eqn: R ^{2} =0.7672,````````SSE _{3} =23,248.3,````````df=24]

(4.892)  (8.894)

기간 중 저축함수 모형에 구조적 변화가 없었다면, 추정된 세 모형의 모수는 큰 차이가 없어야 하지만 추정된 결과를 보면 세 모형 모두 큰 차이가 있다. 따라서 모형③과 같은 회귀(즉 전 기간에 걸쳐 동일한 회귀)는 부적절하다는 것을 시사한다.

모형①과 모형②의 잔차제곱합 [eqn: SSE sub 1 =1,785.03], [eqn: SSE sub 2 =10,005.22]은 두 모형이 각각 독립이라는 가정에서 계산된 값이고, 모형③의 잔차제곱합 [eqn: SSE _{3} =23,248.3]은 두 기간의 회귀모형이 동일하다는 제약, 즉 [eqn: lambda _{1} = gamma _{1},] [eqn: lambda _{2} = gamma _{2}] 이라는 제약 하에서 계산된 것이므로 이를 제약하의 [eqn: SSE]라는 의미로 [eqn: SSE sub R] 이라고 두자. 그리고 [eqn: SSE sub 1 + SSE sub 2 = SSE sub U]라 둔다면 이것은 (제약을 받지 않은) 변화 이전과 이후 두 기간의 잔차제곱합을 더한 11,790.23이 된다.

따라서 만약 구조적 변화가 없다면, 즉 두 기간 중 회귀가 기본적으로 동일하다면 [eqn: SSE sub R]과 [eqn: SSE sub U]는 통계적으로 다를 수가 없게 된다. 이것이 바로 Chow test 의 기본개념이다.

그렇다면 (강의 시간에 학습한) 다음의 통계량 [eqn: F = {(SSE sub R - SSE sub U )/j} over {SSE sub U / n sub 1 + n sub 2 -2}]이 주어진 분자, 분모 자유도와 유의수준 하에서의 F 임계치 보다 크면 귀무가설 [eqn: H sub 0 :] [eqn: lambda _{1} = gamma _{1},] [eqn: lambda _{2} = gamma _{2}]을 기각하고 두 회귀는 서로 다르다고 말한다. (단, [eqn: j=2]는 가설의 개수)

주어진 자료로 F값을 계산하면 [eqn: F _{c} = {(23,248.3-11,790.23)/2} over {11,790.23/10+12-2} =10.69>F _{2,22;0.05} =3.45] 이므로 귀무가설을 기각하고, 기간 중 저축-소득관계가 구조적인 변화를 겪었다고 말한다.

그런데, 문제는 Chow test는 분할된 두 기간의 오차항은 동분산 가정을 따라야 한다고 했으므로 이를 검정하여서 만약 두 기간 중 모분산이 다르다면 Chow test를 이용할 수 없다.

주어진 자료에서 전기와 후기의 분산 추정치를 다음과 같이 얻고;

[eqn: hat sigma sub 1 `sup 2 = SSE sub 1 over {n sub 1 -2} = 1785.03 over 10 = 178.50],   [eqn: hat{sigma _{2}} ` ^{2} = {SSE _{2}} over {n _{2} -2} = {10,005.2} over {14-2} =833.77]

또한 [eqn: H sub 0 : sigma sub 1 sup 2 = sigma sub 2 sup 2]를 검정하기 위해서, 표본에서 구한 두 분산 추정치를 이용하여 F 값을 구하여 5% 유의수준에서 임계치와 비교하면 다음과 같다:

[eqn: F _{c} = {833.77} over {178.50} CONG 4.67>F _{10,12;0.05} =2.75] 이므로 귀무가설을 기각한다. 따라서 우리는 두 기간의 오차항이 동분산을 따르지 않으므로 Chow test를 사용할 수 없다.

* 대안으로 가변수를 활용한 다음 모형을 보자. 앞에서 우리는 두 기간 중 저축-소득관계에서 구조적 변화가 존재함을 알았다. 그 차이가 절편에 있는지 기울기에 있는지 또는 둘 다에 있는지를 아는 것이 중요하다. 다음을 보자.

새로운 모형④ : [eqn: Y sub 1 = alpha sub 1 + alpha sub 2 D sub t + beta sub 1 X sub t + beta sub 2 (D sub t X sub t ) + epsilon sub t] 에서

[eqn: D= {cases{1:&후기 -> E(Y _{t} )=( alpha _{1} + alpha _{2} )+( beta _{1} + beta _{2} )X _{t}&`#0:&전기 -> E(Y _{t} )= alpha _{1} + beta _{1} X _{t}&}}]       ([eqn: alpha sub 2]=절편 편차, [eqn: beta sub 2]=기울기 편차)

후기의 [eqn: (alpha sub 1 + alpha sub 2 ) = gamma sub 1]으로 두고 [eqn: (beta sub 1 + beta sub 2 ) = gamma sub 2]로 두면 이는 곧 모형 ②가 되고, 전기의 [eqn: alpha sub 1 = lambda sub 1]으로 두고 [eqn: beta sub 1 = lambda sub 2]로 두면 이는 곧 모형 ①이 되므로, 위 모형④를 추정하는 것은 곧 앞의 모형 ①과 ②를 동시에 추정하는 것과 같다.

모형 ④의 추정결과가 다음과 같다고 하면 이를 확인할 수 있다.

[eqn: {cases{hat{Y _{t}} =1.016+152.48D _{t} +0.0803X _{t} -0.0655(D _{t} X _{t} )#`````````````(0.0504)``(4.609)*``````(5.5413)*`````(-4.0963)*}}],     [eqn: D= {cases{1:&hat{``Y _{t}} =153.49+0.0148X _{t} `#0:&hat{``Y _{t}} =````1.016+0.0803X _{t}}}]

차이를 나타내는 절편계수와 기울기계수는 모두 통계적으로 유의하여, 두 기간의 회귀는 상이하다는 것을 강하게 나타낸다.  Chow test와 비교할 때 가변수 기법의 장점은 많다. 가변수 접근법은 분명한 이점을 갖고 있다. 즉 이 방법으로 두 회귀가 상이한지 여부 뿐 아니라 그 차이가 절편에 기인하는지 또는 기울기에 기인하는지 또는 둘 다에 인지 여부를 등 차이의 원천을 정확히 파악할 수 있다. 또한 통합자료(pooled data) 이용으로 자유도가 증가하므로 추정된 모수의 상대적 정확성을 높일 수 있다.